Nombre de diviseurs - Corrigé

Énoncé

Combien de diviseurs possède ${100}^{100}$ ?

Solution

On a :
$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}100& 2\\ 50& 2\\ 25& 5\\ 5& 5\\ 1\end{array}\end{array}$  donc $100=2^2\times 5^2$ .

On en déduit que :  ${100}^{100}=(2^2\times 5^2{)}^{100}=2^{200}\times 5^{200}$  et ainsi, le nombre de diviseurs de  ${100}^{100}$  est égal à :  $(200+1)\times (200+1)=201\times 201=40401$ .